Curva normale: significato e applicazioni

Dopo aver letto questo articolo imparerai a conoscere: - 1. Significato della curva normale 2. Applicazioni / Usi della curva normale / Distribuzione normale 3. Tabella delle aree 4. Problemi pratici.

Significato della curva normale:

La curva normale ha un grande significato nella misurazione mentale e nella valutazione educativa. Fornisce informazioni importanti sul tratto che viene misurato.

Se il poligono di frequenza delle osservazioni o delle misurazioni di un determinato tratto è una curva normale, indica che:

1. Il tratto misurato è normalmente distribuito nell'universo.

2. La maggior parte dei casi sono nella media del tratto misurato e la loro percentuale nella popolazione totale è di circa 68, 26%

3. Circa il 15, 87% dei casi (50-34, 13%) è alto nel tratto misurato.

4. Analogamente, il 15, 87% dei casi è approssimativamente basso nel tratto misurato.

5. Il test utilizzato per misurare il tratto è buono.

6. Il test ha un buon potere discriminatorio in quanto distingue tra individui poveri, medi e di alta capacità, e

7. Gli elementi del test utilizzato sono equamente distribuiti in termini di livello di difficoltà.

Applicazioni / Usi della curva normale / Distribuzione normale:

Esistono numerose applicazioni della curva normale nel campo della misurazione e della valutazione in psicologia e istruzione.

Questi sono:

(i) Determinare la percentuale di casi (in una distribuzione normale) entro determinati limiti o punteggi.

(ii) Determinare la percentuale di casi che sono al di sopra o al di sotto di un dato punteggio o punto di riferimento.

(iii) Determinare i limiti dei punteggi che includono una determinata percentuale di casi.

(iv) Determinare il grado percentile di uno studente nel suo gruppo.

(v) Per scoprire il valore percentile del grado percentile di uno studente.

(vi) Confrontare le due distribuzioni in termini di sovrapposizione.

(vii) Per determinare la difficoltà relativa degli elementi del test, e

(viii) Dividere un gruppo in sottogruppi in base a determinate abilità e assegnando i voti.

Tabella delle aree sotto la curva normale:

Come utilizziamo tutte le suddette applicazioni della curva normale nella misurazione e valutazione psicologica ed educativa. È essenziale prima conoscere la Tabella delle aree sotto la curva normale. La tabella A fornisce le parti frazionarie dell'area totale sotto la curva normale che si trova tra la media e le ordinate erette a varie distanze (sigma) dalla media.

La normale tabella delle curve di probabilità è generalmente limitata all'area sotto la curva normale unitaria con N = 1, σ = 1. Nel caso in cui i valori di N e σ siano diversi da questi, le misure oi punteggi devono essere convertiti in punteggi sigma (anche indicati come punteggi standard o punteggi Z).

Il processo è il seguente:

Z = XM / σ o Z = x / σ

In quale Z = punteggio standard

X = Punteggio grezzo

M = Media dei punteggi X.

σ = Deviazione standard dei punteggi X.

La tabella delle aree della curva di probabilità normale viene quindi indicata per scoprire la proporzione di area tra la media e il valore Z. Sebbene l'area totale sotto NP C. sia 1, ma per comodità, l'area totale sotto la curva è considerata pari a 10.000 a causa della maggiore facilità con cui le parti frazionarie dell'area totale possono essere calcolate.

La prima colonna della tabella, x / σ dà la distanza in decimi di un misurato sulla linea di base per la curva normale dalla media come origine. Nella riga, la distanza x / σ viene assegnata al secondo posto del decimale.

Per trovare il numero di casi nella distribuzione normale tra la media e l'ordinata eretta a una distanza di unità dalla media, scendiamo nella colonna x / σ fino a raggiungere 1.0 e nella colonna successiva sotto .00 prendiamo la voce di fronte 1.0, cioè 3413.

Questa cifra indica che 3413 casi su 10.000; o il 34, 13 percento dell'intera area della curva si trova tra media e la. Allo stesso modo, se dobbiamo trovare la percentuale della distribuzione tra la media e 1.56 σ, diciamo, scendiamo la colonna x / σ a 1.5, quindi orizzontalmente alla colonna con il punto di 0.06 e annotiamo la voce 44.06. Questa è la percentuale dell'area totale che si trova tra la media e 1.56σ.

Finora abbiamo considerato solo una distanza misurata nella direzione positiva dalla media. Per questo abbiamo preso in considerazione solo la metà destra della curva normale. Poiché la curva è simmetrica rispetto alla media, le voci nella Tabella-A si applicano alle distanze misurate nella direzione negativa (a sinistra) e a quelle misurate nella direzione positiva.

Se dobbiamo trovare la percentuale della distribuzione tra media e -1.28 σ, per esempio, prendiamo la voce 3997 nella colonna .08, opposta a 1.2 nella colonna x / σ. Questa voce significa che 39.97 dei casi nella distribuzione normale rientrano tra la media e -1.28σ.

Per scopi pratici, prendiamo la curva per finire ai punti -3σ e + 3σ distanti dalla media poiché la curva normale in realtà non soddisfa la linea di base. La tabella dell'area sotto la curva di probabilità normale mostra che 4986.5 casi si trovano tra media e ordinata a + 3σ.

Quindi, il 99.73 percento dell'intera distribuzione, si troverebbe entro i limiti -3σ e + 3σ. Il resto, lo 0, 27 percento della distribuzione oltre ± 3σ è considerato troppo piccolo o trascurabile eccetto dove N è molto grande.

Punti da tenere a mente consultando la tabella di area sotto la curva di probabilità normale:

I seguenti punti devono essere tenuti in considerazione per evitare errori, consultando la tabella NPC:

1. Ogni dato punteggio o osservazione deve essere convertito in misura standard, cioè punteggio Z, utilizzando la seguente formula:

Z = XM / σ

2. La media della curva è sempre il punto di riferimento e tutti i valori delle aree sono dati in termini di distanze dalla media che è zero.

3. L'area in termini di proporzione può essere convertita in percentuale e,

4. Durante la consultazione della tabella, devono essere presi i valori assoluti di Z. Tuttavia, un valore negativo di Z mostra i punteggi e l'area si trova al di sotto della media e questo fatto dovrebbe essere tenuto presente mentre si effettuano ulteriori calcoli sull'area. Un valore positivo di Z indica che il punteggio si trova al di sopra della media, ovvero lato destro.

Problemi pratici relativi all'applicazione della curva di probabilità normale:

(a) Determinare la percentuale di casi in una distribuzione normale entro determinati limiti o punteggi.

Esempio 1:

Data una distribuzione normale di 500 punteggi con M = 40 e σ = 8, quale percentuale di casi si trova tra 36 e 48.

Soluzione:

Punteggio Z per punteggio grezzo 36. Z = XM / σ 36-40 / 8 = -4/8

o Z = -05. σ

Punteggio Z per punteggio grezzo 48. Z = 48-40 / 8 = 8/8 = +1, 00

o Z = + 1σ

Secondo l'area della tabella sotto NPC (Tabella -A) la percentuale totale di casi che si trovano tra la media e -, 5σ è 19.15. La percentuale di casi tra Media e + 1σ è 34, 13. Pertanto, la percentuale totale dei casi compresi tra i punteggi 36 e 48 è 19, 15 + 34, 13 = 53, 28.

(b) Determinare il grado percentile di uno studente nel proprio gruppo:

Il rango percentile è definito come la percentuale di punteggi al di sotto di un dato punteggio:

Esempio 2:

Il punteggio grezzo di uno studente di classe X su un test di successo è 60. La media dell'intera classe è 50 con deviazione standard 5. Trova il rango percentile dello studente.

Soluzione:

Per prima cosa convertiamo il punteggio grezzo da 60 a Z usando la formula.

Secondo la tabella dell'area sotto NPC (Tabella-A) l'area della curva compresa tra M e + 2σ è 47.72%. La percentuale totale di casi al di sotto del punteggio 60 è 50 + 47, 72 = 97, 72% o 98%.

Pertanto, il rango percentile di uno studente che ha ottenuto 60 punti in un test di successo nella classe è 98.

Esempio 3:

In una classe il grado percentile di Amit nella classe di matematica è 75. La media della classe in matematica è 60 con deviazione standard 10. Scopri i voti di Amit nel test di conseguimento della matematica.

Soluzione:

Secondo la definizione di rango percentile, la posizione di Amit sulla scala NPC è del 25% sopra la media.

Secondo la tabella NPC il punteggio σ del 25% dei casi dalla media è + .67σ.

Quindi, usando la formula:

I voti di Amit in matematica sono 67.

(d) Dividere un gruppo in sottogruppi in base al livello di abilità

Esempio 4:

Dato un gruppo di 500 studenti universitari a cui è stato somministrato un test di abilità mentale generale. L'insegnante desidera classificare il gruppo in cinque categorie e assegnare loro i gradi A, B, C, D, E in base all'abilità. Supponendo che l'abilità mentale generale sia normalmente distribuita nella popolazione; calcolare il numero di studenti che possono essere inseriti nei gruppi A, B, C, D ed E.

Soluzione:

Sappiamo che l'area totale della curva normale si estende da -3σ a + 3σ che si trova su un intervallo di 6σ.

Dividendo questo intervallo per 5, otteniamo la distanza σ di ogni categoria = 6σ / 5 = 1.2σ. Pertanto, ogni categoria è distribuita su una distanza di 1, 2σ. La categoria C si troverà nel mezzo. La metà della sua area sarà sotto la media e l'altra metà sopra la media.

La distanza σ di ogni categoria è mostrata nella figura.

Secondo la tabella NPC la percentuale totale di casi da media a .6σ è 22.57.

I casi totali compresi tra -, 6 σ e + .6σ sono 22.57 + 22.57 = 45.14%.

Quindi, nella categoria C, la percentuale totale di studenti è = 45, 14.

Analogamente, secondo la tabella NPC, la percentuale totale di casi da media a 1, 8σa è 46, 41.

La percentuale totale delle facilitazioni nella categoria B è 46, 41 - 22, 57 = 23, 84%.

Nella categoria A la percentuale totale dei casi sarà 50 - 46, 41 = 3, 59%.

Analogamente nelle categorie D ed E la percentuale totale degli studenti sarà rispettivamente del 23, 84% e 3, 59.