Curva di probabilità normale: calcolo, caratteristiche e applicazioni
Leggi questo articolo per conoscere il calcolo, le caratteristiche e le applicazioni della curva di probabilità normale nelle statistiche.
Calcolo della curva di probabilità normale:
Se una moneta viene lanciata in modo imparziale, cadrà o testa (H) o coda (T). Questa è la probabilità di apparire una testa in una possibilità su due. Quindi il rapporto di probabilità di H è ½ e T è ½.
Allo stesso modo di gettare due monete, una moneta x e una moneta, ci sono quattro possibili modi di cadere.
Quindi i quattro modi possibili sono - sia x che y possono cadere H, x può cadere T e y H, x può cadere H e yT o entrambi possono cadere T.
Espresso in rapporti
Probabilità di due teste = ¼
Probabilità di due code = ¼
Probabilità di una H e una T = ¼
Probabilità di una T e una H = ¼
Quindi il rapporto è ¼ + ½ + ¼ = 1.00
L'aspetto previsto delle teste e delle code di due monete può essere espresso come:
(H + T) 2 = H 2 + 2HT + T 2
Se dovessimo aumentare il numero di monete a tre cioè x, y e Z, ci possono essere otto possibili disposizioni.
L'aspetto atteso di teste e code di monete può essere espresso come:
In questo modo possiamo determinare la probabilità di diverse combinazioni di testa e croce di un numero qualsiasi di monete. Possiamo ottenere la probabilità di un numero qualsiasi di monete per espansione binomiale. Un'espressione che contiene due termini è chiamata un'espressione binomiale. Il teorema binomiale è una formula algebrica che espande la potenza di un'espressione binomiale sotto forma di serie.
La formula si legge così:
(H + T) n = C (n, 0) H n + C (n, 1) H n-1 T + C (n, 2) H ( n-2) T 2 ....
... + C (n, r) H nr T r + .... + C (n, n) T n ... (11.1)
Dove C = Combinazioni possibili.
C (n, r) = n! / R! (n - r)!
n! significa 1 x 2 x 3 x .... xn
n = numero totale di osservazioni o persone.
r = Numero di osservazioni o persone prese alla volta.
Quindi espansione binomiale di
Se i dati sopra riportati sono tracciati su un grafico come istogramma e poligono di frequenza, sarà come indicato di seguito (figura 11.1)
Quindi la figura che abbiamo ottenuto dal lancio di 10 monete (H + T) 10 è un poligono simmetrico a molti lati.
E se continueremo ad aumentare il numero di monete, ad ogni aumento il poligono mostrerà una linea di superficie perfettamente liscia la figura 11.2 data sotto:
Questa curva a campana viene chiamata "curva di probabilità normale". Quindi il "grafico della funzione di densità di probabilità della distribuzione normale è una curva a campana continua, simmetrica rispetto alla media" è chiamata curva di probabilità normale.
Nelle statistiche è importante perché:
(A) È la distribuzione di molte variabili presenti in natura, come l'intelligenza degli studenti dell'ottavo anno, l'altezza degli studenti del decimo anno ecc.
(b) La distribuzione dei mezzi dei campioni prelevati dalla maggior parte delle popolazioni madri è normale o approssimativamente quando i campioni sono sufficientemente grandi.
Pertanto la curva normale ha un grande significato nelle scienze sociali e nelle scienze comportamentali. Nella misurazione comportamentale la maggior parte degli aspetti si avvicina alla distribuzione normale. In modo che la curva di probabilità normale o più comunemente conosciuta come NPC venga utilizzata come curva di riferimento. Per capire l'utilità dell'NPC, dobbiamo comprendere le proprietà dell'NPC.
Caratteristiche della curva di probabilità normale:
Alcune delle principali caratteristiche della curva di probabilità normale sono le seguenti:
1. La curva è bilateralmente simmetrica.
La curva è simmetrica rispetto alla sua ordinata del punto centrale della curva. Significa che le dimensioni, la forma e la pendenza della curva su un lato della curva sono identiche all'altro lato della curva. Se la curva è bisecata, la sua parte destra si abbina completamente al lato sinistro.
2. La curva è asintotica:
La curva di probabilità normale si avvicina all'asse orizzontale e si estende da-∞ a + ∞. Significa che le estremità estreme della curva tendono a toccare la linea di base senza mai toccarla.
È illustrato nella figura (11.3) riportata di seguito:
3. Media, mediana e modalità:
La media, la mediana e la modalità cadono al punto medio e sono numericamente uguali.
4. I punti di flessione si verificano a ± 1 unità di deviazione standard:
I punti di afflusso in un NPC si verificano a ± 1σ all'unità sopra e sotto la media. Quindi a questo punto la curva cambia da convessa a concava rispetto all'asse orizzontale.
5. L'area totale di NPC è divisa in ± deviazioni standard:
Il totale di NPC è diviso in sei unità di deviazione standard. Dal centro è diviso in tre unità di deviazione standard + ve 'e unità di deviazione standard tre -ve'.
Quindi ± 3σ di NPC include un numero diverso di casi separatamente. Tra ± 1σ si trovano i casi medi di 2/3 o il 68, 26%, tra ± 2σ si trovano casi del 95, 44% e tra ± 3σ si presentano casi del 99, 73% e oltre + 3σ si verificano solo casi dello 0, 37%.
6. L'ordinata Y rappresenta l'altezza della curva di probabilità normale:
L'ordinata Y dell'NPC rappresenta l'altezza della curva. Al centro si verifica l'ordinata massima. L'altezza della curva al punto medio o medio è indicata come Y 0 .
Per determinare l'altezza della curva in qualsiasi punto usiamo la seguente formula:
7. Non è unimodale:
La curva sta avendo un solo punto di picco. Perché la frequenza massima si verifica solo in un punto.
8. L'altezza della curva diminuisce simmetricamente:
L'altezza della curva diminuisce in entrambe le direzioni in modo simmetrico rispetto al punto centrale. Significa che M + σ e M - σ sono uguali se la distanza dalla media è uguale.
9. La media di NPC è μ e la deviazione standard è σ:
Poiché la media dell'NPC rappresenta la media della popolazione, quindi è rappresentata dal μ (Meu). La deviazione standard della curva è rappresentata dalla lettera greca, σ.
10. Nella curva di probabilità normale la deviazione standard è maggiore del 50% della Q:
In NPC il Q è generalmente chiamato errore probabile o PE.
La relazione tra PE e a può essere definita come segue:
1 PE = .6745σ
1σ = 1.4826PE.
11. Q può essere utilizzato come unità di misura per determinare l'area all'interno di una determinata parte:
12. La media della deviazione sulla media di NPC è .798σ:
Esiste una relazione costante tra la deviazione standard e la deviazione media in un NPC.
13. L'ordinata del modello varia sempre più alla deviazione standard:
In una curva di probabilità normale l'ordinata modale varia sempre di più rispetto alla deviazione standard. La deviazione standard della curva di probabilità normale aumenta, l'ordinale modale diminuisce e viceversa.
Applicazioni della curva di probabilità normale:
Alcune delle applicazioni più importanti della curva di probabilità normale sono le seguenti:
I principi della curva di probabilità normale vengono applicati nelle scienze comportamentali in molte aree diverse.
1. L'NPC viene utilizzato per determinare la percentuale di casi in una distribuzione normale entro determinati limiti:
La curva di probabilità normale ci aiuta a determinare:
io. Quale percentuale di casi cade tra due punteggi di una distribuzione.
ii. Quale percentuale dei punteggi si trova al di sopra di un particolare punteggio di una distribuzione.
iii. Quale percentuale dei punteggi si trova al di sotto di un particolare punteggio di una distribuzione.
Esempio:
Data una distribuzione di punteggi con una media di 24 e σ di 8. Assumendo la normalità quale percentuale dei casi scenderà tra 16 e 32.
Soluzione:
Qui prima di tutto dobbiamo convertire entrambi i punteggi 16 e 32 in un punteggio standard.
Entrando nella Tabella-A, l'area della tabella sotto NPC, si trova che 34, 13 casi cadono tra media e - 1σ e 34, 13 casi cadono tra media e + 1σ. Quindi ± σ copre il 68, 26% dei casi. In questo modo, il 68, 25% dei casi scenderà tra i 16 e i 32 anni.
Esempio:
Data una distribuzione di punteggi con una media di 40 e σ di 8. Assumendo la normalità quale percentuale di casi si troverà sopra e sotto il punteggio 36.
Soluzione:
Prima di tutto dobbiamo convertire il punteggio grezzo 36 in punteggio standard.
Entrando nella Tabella-A, l'area della tabella sotto l'NPC si trova che il 19, 15% dei casi cade tra Media e -.5σ. Pertanto la percentuale totale di casi sopra il punteggio 36 è 50 + 19.15 = 69, 15% e sotto il punteggio 36 è 50-19, 15 = 30, 85%. Quindi nella distribuzione il 69, 15% dei casi supera il punteggio 36 e il 30, 85% i punteggi sono sotto il punteggio 36.
2. L'NPC viene utilizzato per determinare il valore di un punteggio il cui rango percentile è dato:
Usando la tabella NPC possiamo determinare il punteggio grezzo dell'individuo se viene dato il grado percentile.
Esempio:
In una distribuzione di punteggi di un dossier, il ranking percentile di Pinky nelle statistiche è 65. La media della distribuzione è 55 con una deviazione standard di 10. Trova il punteggio grezzo di Pinky in Statistics.
Soluzione:
Poiché il grado percentile di Pinky è 65, in una distribuzione normale la sua posizione è superiore del 35% alla media. Entrando nella tabella "A" abbiamo rilevato che il 35% della media è + 1.04 σ.
Inserendo il valore nel punteggio 'Z'.
3. L'NPC viene utilizzato per trovare i limiti in una distribuzione normale che include una determinata percentuale di casi:
Quando una distribuzione è distribuita normalmente e ciò che sappiamo sulla distribuzione è Media e la deviazione standard in quel momento utilizzando l'area della tabella in NPC possiamo determinare i limiti che includono una determinata percentuale di casi.
Esempio:
Data una distribuzione di punteggi con una media di 20 e σ di 5. Se assumiamo la normalità quali limiti includeranno il 75% medio dei casi.
Soluzione:
In una distribuzione normale i casi medi al 75% includono casi del 37, 5% al di sopra della media e del 37, 5% al di sotto della media. Dalla tabella-A possiamo dire che il 37, 5% dei casi copre 1, 15 σ unità. Pertanto i casi medi del 75% si trovano tra media e ± 1, 15 σ unità.
Quindi in questa distribuzione il 75% dei casi includerà i limiti da 14.25 a 25.75.
4. È usato per confrontare due distribuzioni in termini di sovrapposizione:
Se i punteggi di due gruppi su una particolare variabile sono normalmente distribuiti. Quello che sappiamo del gruppo è la deviazione media e standard di entrambi i gruppi. E vogliamo sapere quanto il primo gruppo stravolga il secondo gruppo o viceversa in quel momento possiamo determinarlo usando l'area della tabella sotto NPC.
5. L'NPC ci aiuta a dividere un gruppo in sottogruppi in base a determinate abilità e ad assegnare i voti:
Quando vogliamo dividere un grande gruppo in determinati sottogruppi in base ad alcune abilità specificate in quel momento, usiamo le unità di deviazione standard di un NPC come unità di scala.
Esempio:
Un test di successo è stato somministrato ai 600 studenti dell'8 ° grado. L'insegnante vuole assegnare questi studenti a 4 gradi, vale a dire A, B, C e D in base alle loro prestazioni nel test. Supponendo che la normalità della distribuzione dei punteggi calcoli il numero di studenti può essere inserito in ciascun gruppo.
Soluzione:
L'area sotto un NPC è divisa in ± 3σ unità o 6σ unità.
Qui dobbiamo dividere gli studenti in 4 sezioni.
Quindi ogni sezione ha
Quindi se dovessimo distribuire la sezione in ordine di merito.
La sezione A sarà compresa tra 1.5σ e 3σ
La sezione B sarà compresa tra Mean e 1.5σ
La sezione C sarà compresa tra Mean e -1.5σ
e la sezione D sarà con in -1.5σ a - 3σ.
6. L'NPC aiuta a determinare la difficoltà relativa degli elementi o dei problemi del test:
Quando è noto che la percentuale di studenti ha risolto con successo un problema, possiamo determinare il livello di difficoltà dell'elemento o del problema utilizzando l'area della tabella in NPC.
7. L'NPC è utile per normalizzare una distribuzione di frequenza:
Per normalizzare una distribuzione di frequenza usiamo la curva di probabilità normale. Per il processo di standardizzazione di un test psicologico questo processo è assolutamente necessario.
8. Per testare il significato delle osservazioni degli esperimenti usiamo NPC:
In un esperimento testiamo la relazione tra le variabili, sia che queste siano dovute a fluttuazioni casuali o errori della procedura di campionamento, sia che si tratti di una relazione reale. Questo viene fatto con l'aiuto dell'area tabella sotto NPC.
9. L'NPC viene utilizzato per generalizzare sulla popolazione del campione:
Calcoliamo l'errore standard della media, l'errore standard della deviazione standard e altre statistiche per generalizzare sulla popolazione da cui viene estratto il campione. Per questo calcolo usiamo l'area della tabella sotto NPC.
