Metodi a due fasi di risoluzione dei problemi nella programmazione lineare: prima e seconda fase
In questo metodo, il problema è risolto in due fasi come indicato di seguito.
Prima fase:
(a) Tutti i termini su RHS dovrebbero essere non negativi. Se alcuni sono -ve quindi devono essere fatti + ve come spiegato in precedenza.
(b) Vincoli espressi in forma standard.
(c) Aggiungi variabili artificiali in vincoli di uguaglianza o (>) vincoli di tipo.
(d) Formare una nuova funzione obiettivo W che consistesse nella somma di tutte le variabili artificiali
W = A 1 + A 2 + ........................ + A m
La funzione (W) è nota come forma di infeasibilità.
(e) La funzione W deve essere minimizzata soggetta ai vincoli del problema originale e si ottiene la soluzione di base ottimale fattibile.
Si può verificare uno dei seguenti tre casi:
(sono dentro. W> 0 e almeno una variabile artificiale appare nella colonna "Variabili di base" a livello Positivo. In tal caso, non esiste alcuna soluzione fattibile per il LPP originale e la procedura viene interrotta.
(ii) Min. W = 0 e almeno una variabile artificiale appare nella colonna "Variabili di base" a livello zero. In tal caso, la soluzione di base ottimale fattibile per la forma di non idoneità può o non può essere una soluzione fattibile di base per il LPP (originale) dato Per ottenere una soluzione fattibile di base, continuiamo la fase I e cerchiamo di trascinare tutte le variabili artificiali da la base e quindi procedere alla fase II.
(iii) Min. W = 0 e nessuna variabile artificiale appare nella colonna "Variabili di base" soluzione corrente ". In tal caso è stata trovata una soluzione fattibile di base per il LPP originale. Procedere alla fase II.
Seconda fase:
Usa la soluzione di base ottimale fattibile della fase I come soluzione iniziale per il LPP originale. Usando il metodo simplex, fai le iterazioni fino a ottenere una soluzione di base ottimale fattibile.
Si può notare che la nuova funzione obiettivo W è sempre di tipo minimizzante indipendentemente dal fatto che il dato LPP (originale) sia di tipo massimizzazione o minimizzazione. Prendiamo il seguente esempio.
Esempio 1 (metodo simplex bifase):
Utilizzare il metodo simplex bifasico su
Riduci a icona Z = -3X - 2Y - 2Z
Soggetto a 5X + 7Y + 4Z <7
-4X + 7Y + 5Z> -2
3X + 4 V - 6Z> 29/7
X, Y, Z> 0
Soluzione:
Prima fase
Consiste dei seguenti passaggi.
(a) Nel secondo vincolo, RHS è -ve, quindi è fatto + ve moltiplicando con il segno meno su entrambi i lati
4X - 7Y - 5Z <2
(b) Aggiunta di variabili di gioco nei vincoli
5X + 7Y + 4Z + S 1 = 7
4X - 7Y - 5Z + S 2 = 2
3X + 4Y - 6Z - S 3 = 29/7
dove X, Y, Z, S 1, S 2, S 3 > 0
(c) Metti X = Y = Z = 0, otteniamo S 1 = 7, S 2 = 2, S 3 = -29/7. come soluzione iniziale. Ma la serie S 3 è -ve, aggiungeremo una variabile artificiale A, cioè
3X + 4Y- 6Z- S 3 + A 1 = 29/7
(d) La funzione obiettivo che è il tipo di minimizzazione è fatta tipo di massimizzazione cioè
Massimizza Z = 3X + 2Y + 2Z
(e) Introduciamo la nuova funzione obiettivo W = A 1 per la prima fase che deve essere ridotta al minimo.
(f) Sostituendo X = Y = Z = S 3 = 0 nei vincoli otteniamo S 1 = 7, S 2 = 2, / A 1 = 29/7 come soluzione iniziale di base ammissibile Tabella 1 se formata.
Test di ottimalità preformato
Poiché Cj-Ej è negativo sotto le stesse colonne (problema di minimizzazione), l'attuale soluzione fattibile di base può essere migliorata.
Iterare verso e soluzione ottimale:
Esecuzione di iterazioni per ottenere una soluzione ottimale.
Sostituisci S 1 con X 2 . questo è mostrato nella tabella sottostante
Nella tabella c'è un legame per la colonna chiave La colonna X è la colonna chiave e la colonna y è la prima colonna dell'identità. Seguendo il metodo del tie break troviamo che la colonna y non rompe il pareggio. La colonna successiva dell'identità cioè S 2 colonne restituisce A 1 -row come riga chiave. Quindi (1/7) l'elemento chiave è reso l'unità nella tabella
Sostituisci A 1 con X come mostrato nella tabella sottostante
La tabella 5 fornisce una soluzione ottimale. Anche dal minimo W = 0 e non vi è alcuna variabile artificiale nelle variabili di base, cioè nella soluzione corrente, Table5 fornisce una soluzione fattibile di base per la Fase-ll
Seconda fase:
La funzione obiettivo originale è
Massimizza Z = 3x + 2y + 2Z + OS, + 0S 2 + 0S 3
Deve essere massimizzato usando i vincoli originali. Usando la soluzione della fase I come soluzione iniziale per la fase II e eseguendo il calcolo usando l'algoritmo simplex otteniamo la tabella 6
L'elemento chiave è reso l'unità in table7
Sostituisci S 2 con X 3 .
